Question

10．已知橢圓$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞b＞0}）$的左、右焦點分別為F₁，F₂，左右頂點分別為A₁，A₂，P為橢圓上任意一點（不包括橢圓的頂點），則以線段PF_i（i=1，2）為直徑的圓與以A₁A₂為直徑的圓的位置關系為內切．

Answer 1

分析 設PF₁的中點為M，可得以線段PF_i（i=1，2）為直徑的圓與以A₁A₂為直徑的圓的圓心距為OM，根據中位線的性質得OM=$\frac{1}{2}P{F}_{2}=\frac{1}{2}（2a-P{F}_{1}）$=a-$\frac{1}{2}P{F}_{1}$，即可

解答 解：如圖，設PF₁的中點為M，可得以線段PF_i（i=1，2）為直徑的圓與以A₁A₂為直徑的圓的圓心距為OM，
根據中位線的性質得OM=$\frac{1}{2}P{F}_{2}=\frac{1}{2}（2a-P{F}_{1}）$=a-$\frac{1}{2}P{F}_{1}$，
a-$\frac{1}{2}P{F}_{1}$就是兩圓的半徑之差，故兩圓內切．
故答案為：內切．

點評 本題考查了橢圓的性質，圓與圓的位置關系，屬于中檔題．