Question

13．某考生從6道預選題一次性隨機的抽取3道題作答，其中4道填空題，2道解答題．
（1）求該考生至少抽到1道解答題的概率；
（2）若所取的3道題中有2道填空題，1道解答題．已知該生答對每道填空題的概率均為$\frac{2}{3}$，答對每道解答題的概率均為$\frac{1}{2}$，且各題答對與否相互獨立．用X表示該考生答對題的個數，求X的分布列和數學期望．

Answer 1

分析 （1）記該考生至少抽到1道解答題為事件A，利用對立事件能求出該考生至少抽到1道解答題的概率．
（2）X所有的可能取值為0，1，2，3．分別求出相應的概率，由此能求出X的分布列和E（X）．

解答 （本小題滿分10分）
解 （1）記該考生至少抽到1道解答題為事件A，
則P（A）=1-P（$\overline{A}$）=1-$\frac{{C}_{4}^{3}}{{C}_{6}^{3}}$=$\frac{4}{5}$．…（4分）
（2）X所有的可能取值為0，1，2，3．
P（X=0）=（1-$\frac{2}{3}$）²•（1-$\frac{1}{2}$）=$\frac{1}{18}$，
P（X=1）=${C}_{2}^{1}•\frac{2}{3}•（1-\frac{2}{3}）•（1-\frac{1}{2}）+（1-\frac{2}{3}）^{2}•\frac{1}{2}$=$\frac{5}{18}$，
P（X=2）=${C}_{2}^{1}•\frac{2}{3}•（1-\frac{2}{3}）•\frac{1}{2}+（\frac{2}{3}）^{2}•（1-\frac{1}{2}）$=$\frac{4}{9}$，
P（X=3）=（$\frac{2}{3}$）²$•\frac{1}{2}$=$\frac{2}{9}$．
所以X的分布列為：

X	0	1	2	3
P	$\frac{1}{18}$	$\frac{5}{18}$	$\frac{4}{9}$	$\frac{2}{9}$

…（8分）
所以E（X）=$0×\frac{1}{18}+1×\frac{5}{18}+2×\frac{4}{9}+3×\frac{2}{9}$=$\frac{33}{18}$．…（10分）

點評 本題考查概率的求法，考查離散型隨機變量的分布列和數學期望的求法，考查推理論證能力、運算求解能力，考查化歸與轉化思想、函數與方程思想，是中檔題．