Question

11．在平面直角坐標系xOy中，已知點A（2，0），點B（0，2），點$C（-\sqrt{3}，-1）$．
（1）求經過A，B，C三點的圓P的方程；
（2）過直線y=x-4上一點Q，作圓P的兩條切線，切點分別為A，B，求證：直線AB恒過定點，并求出定點坐標．

Answer 1

分析 （1）利用待定系數法，求經過A，B，C三點的圓P的方程；
（2）求出以OQ為直徑的圓的方程，與圓P的方程相減可得ax+（a-2）y-2=0，即a（x+y）-2y-2=0，即可證明結論．

解答 解：（1）設圓的方程為x²+y²+Dx+Ey+F=0，
代入點的坐標可得$\left\{\begin{array}{l}{4+2D+F=0}\\{4+2E+F=0}\\{3+1-\sqrt{3}D-E+F=0}\end{array}\right.$，∴D=E=0，F=-4，
∴經過A，B，C三點的圓P的方程x²+y²=4；
（2）證明：設Q（2a，2a-4），則以OQ為直徑的圓的方程為（x-a）²+（y-a+2）²=a²+（a-2）²，
與圓P的方程相減可得ax+（a-2）y-2=0，即a（x+y）-2y-2=0，
∴$\left\{\begin{array}{l}{x+y=0}\\{-2y-2=0}\end{array}\right.$，∴x=1，y=-1，
∴直線AB恒過定點（1，-1）

點評 本題考查圓的方程，考查圓與圓的位置關系，考查直線與圓的位置關系，屬于中檔題．