Question

20．下列函數既是奇函數，又在區間[-1，1]上單調遞減的是（　　）

• A． f（x）=sinx
• B． f（x）=-|x+1|
• C． $f（x）=ln\frac{2-x}{2+x}$
• D． f（x）=$\frac{1}{2}$（a^x+a^-x），（a＞0，a≠1）

Answer 1

分析 根據函數奇偶性和單調性的定義進行判斷即可．

解答 解：A．f（x）=sinx是奇函數，在區間[-1，1]上單調遞增，不滿足條件．
B．f（x）=-|x+1|關于x=-1對稱不是奇函數，不滿足條件．
C．f（-x）+f（x）=ln$\frac{2+x}{2-x}$+ln$\frac{2-x}{2+x}$=ln（$\frac{2+x}{2-x}$•$\frac{2-x}{2+x}$）=ln1=0，則f（-x）=-f（x），則函數f（x）是奇函數，
f（x）=ln$\frac{2-x}{2+x}$=ln$\frac{4-（x+2）}{x+2}$=ln（-1+$\frac{4}{x+2}$），
則y=-1+$\frac{4}{x+2}$在-1≤x≤1上是減函數，則f（x）=ln（-1+$\frac{4}{x+2}$）在區間[-1，1]上是減函數，滿足條件．
D．f（-x）=$\frac{1}{2}$（a^-x+a^x）=f（x），則函數f（x）是偶函數，不滿足條件．
故選：C．

點評 本題主要考查函數奇偶性和單調性的判斷，利用函數奇偶性和單調性的定義以及函數的性質是解決本題的關鍵．