Question

10．如圖，在正四面體ABCD（正四面體是所有棱長(zhǎng)都相等的四面體）中，棱長(zhǎng)為2，E、F分別為BC、AD的中點(diǎn)．
（Ⅰ）求$\overrightarrow{AE}•\overrightarrow{CF}$的值；
（Ⅱ）求二面角A-BC-D的余弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出$\overrightarrow{AE}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{2}\overrightarrow{AC}$，$\overrightarrow{CF}=\overrightarrow{CA}+\frac{1}{2}\overrightarrow{AD}$，由此能求出結(jié)果．
（Ⅱ）連接DE，則∠AED為二面角A-BC-D的平面角，由此能求出二面角A-BC-D的余弦值．

解答 解：（Ⅰ）∵在正四面體ABCD（正四面體是所有棱長(zhǎng)都相等的四面體）中，
棱長(zhǎng)為2，E、F分別為BC、AD的中點(diǎn)，
∴$\overrightarrow{AE}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{2}\overrightarrow{AC}$，
$\overrightarrow{CF}=\overrightarrow{CA}+\frac{1}{2}\overrightarrow{AD}$，
∴$\overrightarrow{AE}•\overrightarrow{CF}$=（$\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{2}\overrightarrow{AC}$）•（$\overrightarrow{CA}+\frac{1}{2}\overrightarrow{AD}$）
=$\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{CA}$+$\frac{1}{2}\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{CA}$+$\frac{1}{4}\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AD}$+$\frac{1}{4}\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{AD}$
=$\frac{1}{2}×|\overrightarrow{AB}|•|\overrightarrow{CA}|×cos120°$-$\frac{1}{2}×|\overrightarrow{AC}{|}^{2}$+$\frac{1}{4}×|\overrightarrow{AB}|•|\overrightarrow{AD}|×cos60°$+$\frac{1}{4}×|\overrightarrow{AC}|•|\overrightarrow{AD}|×cos60°$
=$\frac{1}{2}×2×2×（-\frac{1}{2}）-\frac{1}{2}×{2}^{2}+\frac{1}{4}×2×2×\frac{1}{2}$+$\frac{1}{4}×2×2×\frac{1}{2}$=-2，
∴$\overrightarrow{AE}•\overrightarrow{CF}=-2$．
（Ⅱ）連接DE，則∠AED為二面角A-BC-D的平面角，
∵AB=AC=2，
∴$AE=\sqrt{3}，DE=\sqrt{3}，AD=2$，
∴$cos∠AED=\frac{1}{3}$，
∴二面角A-BC-D的余弦值為$\frac{1}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查向量的數(shù)量積的求法，考查二面角的余弦值的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．