Question

19．已知正數a，b滿足ab=2a+b+2．
（Ⅰ）求ab的最小值；
（Ⅱ）求a+2b的最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用換元法，結合基本不等式，即可求ab的最小值；
（Ⅱ）化二元為一元，利用基本不等式求a+2b的最小值．

解答 解：（Ⅰ）$ab=2a+b+2≥2\sqrt{2ab}+2$，設$\sqrt{ab}=t$，所以${t^2}-2\sqrt{2}t-2≥0$，解得$t≥2+\sqrt{2}$，…（4分）
所以ab最小值為$6+4\sqrt{2}$，當b=2a，即$a=\sqrt{2}+1$時取到．…（6分）
（Ⅱ）由題可得$b=\frac{2a+2}{a-1}（a＞1）$，
所以$a+2b=a+\frac{4a+4}{a-1}=a-1+\frac{8}{a-1}+5≥4\sqrt{5}+5$，即a+2b最小值為$4\sqrt{5}+5$，…（10分）
當$a-1=\frac{8}{a-1}$，即$a=2\sqrt{2}+1$時取到．…（12分）

點評 本題考查利用基本不等式求最值，考查學生分析解決問題的能力，正確轉化是關鍵．