Question

11．已知橢圓$\frac{x^2}{4}$+$\frac{y^2}{2}$=1，點A在橢圓上（不是頂點），點A關于x軸、y軸、原點的對稱點分別為B、D、C，求四邊形ABCD面積的最大值．

Answer 1

分析 在$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{2}=1$上，設點A（x，y）（xy≠0）由題可得四邊形ABCD的面積為4|xy|，利用基本不等式的性質即可得出|xy|的最大值．

解答 解：在$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{2}=1$上，設點A（x，y）（xy≠0）由題可得四邊形ABCD的面積為4|xy|，
由$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{2}=1≥2\sqrt{\frac{{{{（xy）}^2}}}{8}}$，
當且僅當$\frac{x^2}{4}=\frac{y^2}{2}$時即$x=±\sqrt{2}，y=±1$取等號，
∴|xy|最大值為$\sqrt{2}$，即四邊形ABCD的面積最大值為4$\sqrt{2}$．

點評 本題考查了橢圓的標準方程及其性質、基本不等式的性質、矩形的面積計算公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．