Question

2．已知函數f （x）=$\sqrt{lo{g}_{0.3}（4x-1）}$的定義域為A，m＞0，函數g（x）=4 ^x-1（0＜x≤m）的值域為B．
（1）當m=1時，求 （∁_R A）∩B；
（2）是否存在實數m，使得A=B？若存在，求出m的值； 若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）求出f（x）的定義域確定出A，進而求出A的補集，把m=1代入確定出x的范圍，進而求出g（x）的值域，確定出B，找出A補集與B的交集即可；
（2）表示出g（x）的值域確定出B，根據A=B求出m的值即可．

解答 解：（1）由題意得：$\left\{\begin{array}{l}{4x-1＞0}\\{lo{g}_{0.3}（4x-1）≥0}\end{array}\right.$，
解得：$\frac{1}{4}$＜x≤$\frac{1}{2}$，即A=（$\frac{1}{4}$，$\frac{1}{2}$]，
∴∁_RA=（-∞，$\frac{1}{4}$]∪（$\frac{1}{2}$，+∞），
當m=1時，由0＜x≤1，得到$\frac{1}{4}$＜4^x-1≤1，即B=（$\frac{1}{4}$，1]，
則（∁_RA）∩B=（$\frac{1}{2}$，1]；
（2）由題意得：B=（$\frac{1}{4}$，4^m-1]，
若存在實數m，使A=B，則必有4^m-1=$\frac{1}{2}$，
解得：m=$\frac{1}{2}$，
則存在實數m=$\frac{1}{2}$，使得A=B．

點評 此題考查了交、并、補集的混合運算，熟練掌握各自的定義是解本題的關鍵．