Question

10．已知函數f（x）的定義域為（-1，1），對任意x，y∈（-1，1），有f（x）+f（y）=f（${\frac{x+y}{1+xy}}$）．
（1）驗證函數f（x）=lg（$\frac{1-x}{1+x}$）是否滿足這些條件；
（2）判斷函數f（x）的奇偶性并證明；
（3）若f（$\frac{a+b}{1+ab}$）=1，f（$\frac{a-b}{1-ab}$）=2，且|a|＜1，|b|＜1，求f（a），f（b）的值．

Answer 1

分析 （1）根據函數的解析式，求出函數的定義域滿足條件，進而根據對數的運算性質，計算f（x）+f（y）與f（$\frac{x+y}{1+xy}$）并進行比較，可得答案
（2）利用賦值法先求出f（0）=0，再證出f（x）+f（-x）=f（0）=0，從而得出函數f（x）在（-1，1）上是奇函數；
（3）（a）-f（b）=f（a）+f（-b）=f（$\frac{a-b}{1-ab}$）=2，f（a）+f（b）=f（$\frac{a+b}{1+ab}$）=1，解得即可．

解答 解：（1）$\frac{x+y}{1+xy}$＞0可得-1＜x＜1，其定義域為（-1，1），
又f（x）+f（y）=lg$\frac{1-x}{1+x}$+lg$\frac{1-y}{1+y}$=lg（$\frac{1-x}{1+x}$•g$\frac{1-y}{1+y}$）=lg$\frac{1-x-y+xy}{1+x+y+xy}$=lg$\frac{1-\frac{x+y}{1+xy}}{1+\frac{x+y}{1+xy}}$=f（${\frac{x+y}{1+xy}}$）．
函數f（x）=lg（$\frac{x+y}{1+xy}$）滿足這些條件
（2）函數f（x）在（-1，1）上是奇函數．
證明：將x=0代入條件，得f（0）+f（y）=f（y），
∴f（0）=0
再令y=-x代入條件，得f（x）+f（-x）=f（0）=0
∴f（-x）=-f（x），
∴f（x）在（-1，1）上是奇函數，
（3）∵|a|＜1，|b|＜1，
∴f（a）-f（b）=f（a）+f（-b）=f（$\frac{a-b}{1-ab}$）=2，
f（a）+f（b）=f（$\frac{a+b}{1+ab}$）=1，
∴f（a）=$\frac{3}{2}$，f（b）=-$\frac{1}{2}$．

點評 本題考查的知識點是函數的奇偶性與函數的單調性，及對數函數的圖象和性質，其中熟練掌握抽象函數的處理方式，將抽象問題具體化是解答的關鍵．