Question

5．在y=2^x，y=log₂x，y=x${\;}^{\frac{1}{2}}$這三個函數中，當0＜x₁＜x₂＜1時，使f（$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$）＜$\frac{f（{x}_{1}）+f（{x}_{2}）}{2}$恒成立的函數的個數是（　　）

• A． 0
• B． 1
• C． 2
• D． 3

Answer 1

分析 分別計算f（$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$），$\frac{f（{x}_{1}）+f（{x}_{2}）}{2}$，利用基本不等式的性質即可判斷出大小關系．

解答 解：0＜x₁＜x₂＜1時，使f（$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$）＜$\frac{f（{x}_{1}）+f（{x}_{2}）}{2}$恒成立，
則函數圖象在（0，1）上是下凹的．
對于函數y=2^x，當0＜x₁＜x₂＜1時，使f（$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$）=${2}^{\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}}$，$\frac{f（{x}_{1}）+f（{x}_{2}）}{2}$=$\frac{{2}^{{x}_{1}}+{2}^{{x}_{2}}}{2}$＞$\sqrt{{2}^{{x}_{1}+{x}_{2}}}$=${2}^{\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}}$，
因此0＜x₁＜x₂＜1時，使f（$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$）＜$\frac{f（{x}_{1}）+f（{x}_{2}）}{2}$恒成立．
同理可得：y=log₂x，y=x${\;}^{\frac{1}{2}}$這兩個函數不成立．
綜上可得：恒成立的函數的個數是1個．
故選：B．

點評 本題考查了恒成立問題等價轉化方法、基本不等式的性質、指數與對數函數的運算性質，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．