Question

18．函數f（x）=$\frac{{a•{2^x}+b}}{{{2^x}+1}}$是R上的奇函數，且f（1）=$\frac{1}{3}$，
（1）求a，b的值；
（2）判斷函數f（x）的單調性并證明．

Answer 1

分析 （1）利用函數是奇函數，函數值列出方程，即可求出a，b．
（2）直接利用函數的單調性的定義證明即可．

解答 解：（1）∵f（x）為R上奇函數，∴f（0）=0，
即a=-b①
∵$f（1）=\frac{2a+b}{3}=\frac{1}{3}$，
∴2a+b=1，②
結合①②有   a=1，b=-1…（6分）
（2）由（1）得$f（x）=\frac{{{2^x}-1}}{{{2^x}+1}}=1-\frac{2}{{{2^x}+1}}$，
設x₁＜x₂則${2^{x_1}}＜{2^{x_2}}，f（{x_1}）-f（{x_2}）=\frac{2}{{{2^{x_2}}+1}}-\frac{2}{{{2^{x_1}}+1}}=\frac{{2（{2^{x_1}}-{2^{x_2}}）}}{{（{2^{x_2}}+1）（{2^{x_1}}+1）}}＜0$，
即f（x₁）＜f（x₂），
∴f（x）為單調遞增函數．   …（12分）

點評 本題考查函數的奇偶性以及單調性的判斷與應用，考查函數與方程的思想，是基礎題．