Question

6．設實數x，y滿足約束條件$\left\{{\begin{array}{l}{y≥\frac{1}{2}x}\\{y≤3x}\\{y≤-x+1}\end{array}}\right.$目標函數z=ax+y取最大值有無窮多個最優解，則實數a的取值為-3或1．

Answer 1

分析 作出不等式對應的平面區域，利用線性規劃的知識，要使目標函數的最優解有無數個，則目標函數和其中一條直線平行，然后根據條件即可求出a的值．

解答 解：作出不等式組對應的平面區域如圖：（陰影部分）．
若a=0，則y=z，此時滿足條件最大值不存；
若a＞0，由z=ax+y得y=-ax+z，
若a＞0，∴目標函數的斜率k=-a＜0．
平移直線y=-ax+z，
由圖象可知當直線 y=-ax+z和直線x+y=1平行時，此時目標函數取得最大值時最優解有無數多個，此時a=1滿足條件；
若a＜0，目標函數的斜率k=-a＞0．
平移直線y=-ax+z，
由圖象可知直線y=-ax+z，和直線y=3x平行時，
此時目標函數取得最大值時最優解有無數多個，
此時a=-3滿足條件．
故答案為：-3或1．

點評 本題主要考查線性規劃的應用，利用數形結合是解決線性規劃問題中的基本方法．