Question

18．已知函數f（x）=$\frac{4x}{3{x}^{2}+3}$，g（x）=$\frac{1}{3}$ax³-a²x．
（1）設a≠0，若對任意x₁∈[0，2]，總存在x₀∈[0，2]，使f（x₁）=g（x₀），求實數a的取值范圍；
（2）點A（x₁，y₁）．B（x₂，y₂）為函數f（x）圖象上不同的兩點，求證：直線AB的斜率小于2．

Answer 1

分析 （1）求出f（x）在[0，2]上的值域，在求導g'（x），從而確定函數的單調性，轉化為求函數最值問題；
（2）直線AB的斜率轉化為求函數f'（x）的最值問題即可；

解答 解：（1）對f（x）求導：f'（x）=$\frac{-12{x}^{2}+12}{（3{x}^{2}+3）^{2}}$，令f'（x）=0，即導函數零點為x=1或-1；
故f（x）在（-∞，-1）上單調遞減，（-1，1）上單調遞增，（1，+∞）上單調遞減；
f（0）=0，f（2）=$\frac{8}{15}$，f（1）=$\frac{2}{3}$
f（x）在[0，2]上的取值范圍為：[0，$\frac{2}{3}$]
對g（x）求導：g'（x）=ax²-a²=a（x²-a），a＞0時，計算得出x=$\sqrt{a}$．
當0＜a＜4時，g'（x）＞0，∴$\sqrt{a}＜x≤2$；g'（x）＜0，∴0$≤x＜\sqrt{a}$
∴g（x）在[0，$\sqrt{a}$]上單調遞減，在（$\sqrt{a}$，2]上單調遞增，
顯然g（$\sqrt{a}$）＜g（0）=0
根據題意可知，g（2）$≥\frac{2}{3}$，即3a²-4a+1≤0，
∴$\frac{1}{3}≤a≤1$
當a≥4時，g'（x）≤0，所以g（x）在[0，2]上單調遞減，g（x）≤g（0），不合題意；
當a≤0時，x∈[0，2]，g（x）=$\frac{1}{3}a{x}^{3}-{a}^{2}x≤0$，不滿足y=g（x）的值域包含[0，$\frac{2}{3}$]；
綜上：$\frac{1}{3}≤a≤1$
（2）對f（x）求導：f'（x）=$\frac{-12{x}^{2}+12}{（3{x}^{2}+3）^{2}}$，令f'（x）=0，即導函數零點為x=1或-1；
故f（x）在（-∞，-1）上單調遞減，（-1，1）上單調遞增，（1，+∞）上單調遞減；
令y=f'（x），則有y=$-\frac{12}{9}×\frac{{x}^{2}-1}{（{x}^{2}+1）^{2}}$，
令t=x²+1≥1，則y=-$\frac{4}{3}$（t-$\frac{2}{{t}^{2}}$），因為t與-$\frac{2}{{t}^{2}}$在t＞1都是增函數，所以y在t＞1上是減函數；
故${y}_{max}=y（1）=\frac{4}{3}$，此時t=1⇒x=0；
也即是當x=0時，y=f'（x）取得最大值，同時f（0）=0；
當A為原點坐標（0，0），B點坐標無限趨向于A點坐標，則此時曲線f（x）上兩點的最大斜率趨向于$\frac{4}{3}$＜2．
故得證．

點評 本題主要考查利用導數判斷函數的單調性與最值問題，以及函數求最值方法與轉化思想，屬中等題．