Question

19．已知橢圓mx²+5y²=5m（m＞0）的離心率為$e=\frac{{\sqrt{10}}}{5}$，求m的值，并求橢圓的長軸和短軸的長、焦點坐標、頂點坐標．

Answer 1

分析 將橢圓方程轉化成標準方程：$\frac{{x}^{2}}{5}+\frac{{y}^{2}}{m}=1$，由當0＜m＜5時，橢圓的焦點在x軸上，及當m＞5時，橢圓的焦點在y軸上，根據橢圓的性質，即可求得m的值，橢圓的長軸和短軸的長、焦點坐標、頂點坐標．

解答 解：由橢圓方程：mx²+5y²=5m，即$\frac{{x}^{2}}{5}+\frac{{y}^{2}}{m}=1$，
當0＜m＜5時，橢圓的焦點在x軸上，
c=$\sqrt{5-m}$，
e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{5-m}}{\sqrt{5}}$=$\frac{\sqrt{10}}{5}$，解的：m=3，
∴橢圓方程：$\frac{{x}^{2}}{5}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$，
∴橢圓的長軸長為2$\sqrt{5}$，短軸長為2$\sqrt{3}$，焦點坐標為（-$\sqrt{2}$，0），（$\sqrt{2}$，0），
頂點坐標分別為（-$\sqrt{5}$，0）（$\sqrt{5}$，0），（0，-$\sqrt{3}$），（0，$\sqrt{3}$）；
當m＞5時，橢圓的焦點在y軸上，
c=$\sqrt{m-5}$，
e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{m-5}}{\sqrt{m}}$=$\frac{\sqrt{10}}{5}$，解得：m=$\frac{25}{3}$，
∴橢圓方程為：$\frac{{x}^{2}}{5}+\frac{{y}^{2}}{\frac{25}{3}}=1$，
∴橢圓的長軸長為$\frac{10\sqrt{3}}{3}$，短軸長為2$\sqrt{5}$，焦點坐標為（0，-$\frac{\sqrt{30}}{3}$），（0，$\frac{\sqrt{30}}{3}$），
頂點坐標分別為（-$\sqrt{5}$，0）（$\sqrt{5}$，0），（0，-$\frac{5\sqrt{3}}{3}$），（0，$\frac{5\sqrt{3}}{3}$）．

點評 本題考查橢圓的標準方程，橢圓的性質，考查分類討論思想，屬于中檔題．