Question

4．已知定義在R上的函數f（x）關于點（2，0）對稱，且對任意的實數x都滿足f（x）=f（2-x），若f（-5）=-2，則f（2015）=（　�。�

• A． -2
• B． 2
• C． 3
• D． -3

Answer 1

分析 定義在R上的函數f（x）關于點（2，0）對稱，可得f（2-x）=f（2+x）．又對任意的實數x都滿足f（x）=f（2-x），可得f（x+2）=f（x）．于是f（2015）=f（2×1007+1）=f（1）．而f（-5）=f（2-7）=f（2+7）=f（1），即可得出．

解答 解：∵定義在R上的函數f（x）關于點（2，0）對稱，
∴f（2-x）=f（2+x）．
又對任意的實數x都滿足f（x）=f（2-x），
∴f（x+2）=f（x），因此函數f（x）是周期為2的函數．
∴f（2015）=f（2×1007+1）=f（1）．
又-2=f（-5）=f（2-7）=f（2+7）=f（1），
∴f（1）=-2．
∴f（2015）=-2．
故選：A．

點評 本題考查了抽象函數的周期性對稱性，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．