Question

7．如圖，在四棱錐A-BCDE中，底面BCDE為矩形，側面ABC⊥底面BCDE，BC=2，CD=$\sqrt{2}$，AB=AC．
（1）求證：BE⊥面ABC；
（2）設△ABC為等邊三角形，求直線CE與平面ABE所成角的正弦值．

Answer 1

分析 （1）利用底面是矩形得到BE⊥BC，結合側面ABC⊥底面BCDE得到所證；
（2）利用（1）的結論，取AB的中點H，連接EH利用△ABC為等邊三角形得到∠CEH是直線CE與平面ABE所成角．

解答 （1）證明：∵底面BCDE為矩形，∴BE⊥BC．∵側面ABC⊥底面BCDE，且交線為BC，BE?平面ABCD．∴BE⊥面ABC．
（2）解：由（1）可知BE⊥面ABC．∵BE?平面ABE．∴平面ABE⊥底面ABC，且交線為AB．
取AB的中點H，連接EH．∵△ABC為等邊三角形，
∴CH⊥AB，CH⊥平面ABE．∴∠CEH是直線CE與平面ABE所成角．
在矩形BCDE中，$CE=\sqrt{6}$． 在正△ABC中，$CH=\sqrt{3}$．
∴$sin∠CEH=\frac{CH}{CE}=\frac{{\sqrt{3}}}{{\sqrt{6}}}=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$．．

點評 本題考查了空間面面垂直和線面垂直的判定定理和性質定理的運用以及求線面角；關鍵是利用定理將線面角轉化為線線角．