Question

15．已知橢圓$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$的左右焦點分別為F₁，F₂，過F₂的直線與橢圓交于A，B兩點，若△F₁AB是以A為直角頂點的等腰直角三角形，則橢圓離心率為$\sqrt{6}-\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 如圖所示，設|AF₁|=m，則|AF₂|=2a-m，|BF₂|=2m-2a，|BF₁|=4a-2m，根據△F₁AB是以A為直角頂點的等腰直角三角形，可得m²+（2a-m）²=4c²，m²+m²=（4a-2m）²，聯立解出即可得出．

解答 解：如圖所示，
設|AF₁|=m，則|AF₂|=2a-m，|BF₂|=2m-2a，|BF₁|=4a-2m，
∵△F₁AB是以A為直角頂點的等腰直角三角形，
∴m²+（2a-m）²=4c²，
m²+m²=（4a-2m）²，
聯立解得：m=（4-2$\sqrt{2}$）a，e²=9-6$\sqrt{2}$，
解得e=$\sqrt{6}-\sqrt{3}$．
故答案為：$\sqrt{6}-\sqrt{3}$．

點評 本題考查了橢圓的定義及其性質、勾股定理、等腰直角三角形的性質，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．