Question

1．函數y=a^1-x（a＞0，a≠1）的圖象恒過定點A，若點A在直線mx+ny-2=0（mn＞0）上，則$\frac{3}{m}+\frac{1}{n}$的最小值為2+$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 函數y=a^1-x（a＞0，a≠1）的圖象恒過定點A（1，1），可得m+n=2．再利用“乘1法”與基本不等式的性質即可得出．

解答 解：∵函數y=a^1-x（a＞0，a≠1）的圖象恒過定點A（1，1），
點A在直線mx+ny-2=0（mn＞0）上，∴m+n=2．
則$\frac{3}{m}+\frac{1}{n}$=$\frac{1}{2}（m+n）$$（\frac{3}{m}+\frac{1}{n}）$=$\frac{1}{2}（4+\frac{3n}{m}+\frac{m}{n}）$$≥\frac{1}{2}$$（4+2\sqrt{\frac{3n}{m}•\frac{m}{n}}）$=2+$\sqrt{3}$，當且僅當m=$\sqrt{3}n$=$3-\sqrt{3}$時取等號．
故答案為：2+$\sqrt{3}$．

點評 本題考查了基本不等式的性質、“乘1法”、指數函數性質，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．