Question

16．已知正項等比數列{a_n}的前n項和為S_n，且a₂a₃=a₅，S₄=10S₂．
（1）求數列{a_n}的通項公式；
（2）設b_n=（2n-1）a_n，求數列{b_n}的前n項和T_n．

Answer 1

分析 （1）正項等比數列{a_n}的公比設為q，運用等比數列的通項公式，解方程可得首項和公比，進而得到所求通項；
（2）b_n=（2n-1）a_n=（2n-1）•3ⁿ，運用數列的求和方法：錯位相減法，結合等比數列的求和公式，化簡整理，即可得到所求和．

解答 解：（1）正項等比數列{a_n}的公比設為q，
由a₂a₃=a₅，S₄=10S₂，
可得a₁²q³=a₁q⁴，a₁（1+q+q²+q³）=10a₁（1+q），
解得a₁=q=3，（q=1舍去），
則a_n=a₁q^n-1=3ⁿ；
（2）b_n=（2n-1）a_n=（2n-1）•3ⁿ，
前n項和T_n=1•3+3•3²+…+（2n-1）•3ⁿ，
3T_n=1•3²+3•3³+…+（2n-1）•3ⁿ⁺¹，
相減可得-2T_n=1•3+2•（3²+…+3ⁿ）-（2n-1）•3ⁿ⁺¹
=3+2•$\frac{9（1-{3}^{n-1}）}{1-3}$-（2n-1）•3ⁿ⁺¹，
化簡可得T_n=3+（n-1）•3ⁿ⁺¹．

點評 本題考查等比數列的通項公式和求和公式的運用，考查數列的求和方法：錯位相減法，考查化簡整理的運算能力，屬于中檔題．