Question

5．若函數$f（x）=\left\{\begin{array}{l}{e^{1-x}}，x≤1\\ ln（{x-1}），x＞1\end{array}\right.$，則使得f（x）≥2成立的x的取值范圍是（-∞，1-ln2]∪[1+e²，+∞）．

Answer 1

分析 討論當x＞1時，ln（x-1）≥2；當x≤1時，e^1-x≥2，運用指數函數和對數函數的單調性，解不等式即可得到所求范圍．

解答 解：函數$f（x）=\left\{\begin{array}{l}{e^{1-x}}，x≤1\\ ln（{x-1}），x＞1\end{array}\right.$，
當x＞1時，ln（x-1）≥2，可得x-1≥e²，即為x≥1+e²；
當x≤1時，e^1-x≥2，即有1-x≥ln2，解得x≤1-ln2．
綜上可得x≥1+e²或x≤1-ln2．
故答案為：（-∞，1-ln2]∪[1+e²，+∞）．

點評 本題考查分段函數的應用：解不等式，考查指數函數和對數函數的單調性，運算能力，屬于中檔題．