Question

17．設f（x）=e^x•sinx+ax，x∈[0，2π]（a為常數）．
（1）當a=0時，求f（x）的單調區間；
（2）若f（x）在區間（0.2π）的極大值、極小值各有一個，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出函數的導數，解關于導函數的不等式，求出函數的單調區間即可；
（2）設g（x）=f'（x），求出函數的導數，解關于導函數的不等式，求出函數的單調區間，得到關于a是不等式組，解出即可．

解答 解：（1）當a=0時，$f'（x）={e^x}（sinx+cosx）=\sqrt{2}{e^x}sin（x+\frac{π}{4}）$，
令f'（x）＞0，則$0＜x＜\frac{3π}{4}，\frac{7π}{4}＜x＜2π，f（x）$單調遞增；
令f'（x）＜0，則$\frac{3π}{4}＜x＜\frac{7π}{4}，f（x）$單遞減，
所以f（x）的單調遞增區間為$（0，\frac{3π}{4}），（\frac{7π}{4}，2π）$，單調遞減區間為$（\frac{3π}{4}，\frac{7π}{4}）$．
（2）設g（x）=f'（x）=e^x（sinx+cosx）+a，則g'（x）=2e²cosx，
令g'（x）＞0，則$cosx＞0，0＜x＜\frac{π}{2}，\frac{3π}{2}＜x＜2π$，
令g'（x）＜0，則$cosx＜0，\frac{π}{2}＜x＜\frac{3π}{2}$，
所以g（x）的單調遞增區間為$（0，\frac{π}{2}），（\frac{3π}{2}，2π）$，單調遞減區間為$（\frac{π}{2}，\frac{3π}{2}）$．
故g（x）在$x=\frac{π}{2}$處取得極大值，在$x=\frac{3π}{2}$處取得極小值，
$g（0）=a+1，g（\frac{π}{2}）=a+{e^{\frac{π}{2}}}，g（\frac{3π}{2}）=a-{e^{\frac{3π}{2}}}，g（2π）=a+{e^{2π}}$，
所以$g（{2π}）＞g（\frac{π}{2}）＞g（0）＞g（\frac{3π}{2}）$
①若$g（\frac{3π}{2}）≥0$，則f'（x）≥0，f（x）在（0，2π）上單調增，
故f（x）在（0，2π）無極值，所以$g（\frac{3π}{2}）＜0$；
②若$g（\frac{3π}{2}）≤0$，則f（x）在（0，2π）內至多有一個極值點，從而$g（{2π}）＞0，g（\frac{π}{2}）＞0$，
于是在區間$（\frac{π}{2}，\frac{3π}{2}），（\frac{3π}{2}，2π）$內f（x）分別有極大值、極小值各一個，
則在$（0，\frac{π}{2}）$內無極值點，從而g（0）≥0，
$\left\{\begin{array}{l}g（0）≥0\\ g（\frac{π}{2}）＞0\\ g（\frac{3π}{2}）＜0\end{array}\right.⇒\left\{\begin{array}{l}a+1≥0\\ a+{e^{\frac{π}{2}}}＞0\\ a-{e^{\frac{3π}{2}}}＜0\end{array}\right.⇒-1≤a＜{e^{\frac{3π}{2}}}$，
所以a的取值范圍是$-1≤a＜{e^{\frac{3π}{2}}}$．

點評 本題考查了函數的單調性、極值問題，考查導數的應用以及分類討論思想，轉化思想，是一道綜合題．