Question

12．設橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的左、右焦點分別為F₁、F₂，點G在橢圓C上，$\overrightarrow{G{F}_{1}}$•$\overrightarrow{G{F}_{2}}$=0，△GF₁F₂的面積為2，離心率為$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
（1）求橢圓C的方程；
（2）設直線l：y=k（x-1）與橢圓C相交于A、B兩點，點P（3，0）與點A、B連線的斜率分別為k₁、k₂，當$\frac{{k}_{1}{k}_{2}}{k}$取最大值時，求直線l的方程．

Answer 1

分析 （1）根據橢圓的離心率及橢圓的定義，利用三角形的面積公式，勾股定理即可求得a和b的值，求得橢圓方程；
（2）將直線l的方程代入橢圓方程，利用韋達定理及直線的斜率公式，根據基本不等式的性質，即可求得$\frac{{k}_{1}{k}_{2}}{k}$取最大值，求得k的值，求得直線l的方程．

解答 解：（1）由橢圓的離心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，則a=$\sqrt{2}$c，
由$\overrightarrow{G{F}_{1}}$•$\overrightarrow{G{F}_{2}}$=0，則GF₁⊥GF₂，
∴丨GF₁丨²+丨GF₂丨²=丨F₁F₂丨²=4c²，
$\frac{1}{2}$×丨GF₁丨×丨GF₂丨=2，
由橢圓的定義可知：丨GF₁丨+丨GF₂丨=2a，
解得：a=2，c=$\sqrt{2}$，
∴b²=a²-c²=2，
∴橢圓的標準方程：$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{2}=1$；
（2）設A（x₁，y₁）B（x₂，y₂），由題意可知：k＜0，
則$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x-1）}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{2}=1}\end{array}\right.$，整理得：（1+2k²）x²-4k²x+2k²-4=0，
∴x₁+x₂=$\frac{4{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{2{k}^{2}-4}{1+2{k}^{2}}$，
則$\frac{{k}_{1}{k}_{2}}{k}$=$\frac{{y}_{1}{y}_{2}}{k（{x}_{1}-3）（{x}_{2}-3）}$=$\frac{{k}^{2}（{x}_{1}-1）（{x}_{2}-1）}{k（{x}_{1}-3）（{x}_{2}-3）}$=k×$\frac{{x}_{1}{x}_{2}-（{x}_{1}+{x}_{2}）+1}{{x}_{1}{x}_{2}-3（{x}_{1}+{x}_{2}）+9}$，
=k×$\frac{\frac{2{k}^{2}-4}{1+2{k}^{2}}-\frac{4{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}+1}{\frac{2{k}^{2}-4}{1+2{k}^{2}}-3×\frac{4{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}+9}$=k×$\frac{2{k}^{2}-4-4{k}^{2}+1+2{k}^{2}}{2{k}^{2}-4-12{k}^{2}+9（1+2{k}^{2}）}$=$\frac{-3k}{5+8{k}^{2}}$=$\frac{3}{（-\frac{5}{k}）+（-8k）}$≤$\frac{3}{4\sqrt{10}}$，
當且僅當（-$\frac{5}{k}$）=-8k，即k=-$\frac{\sqrt{10}}{4}$時，取得最值．此時，直線l的方程：y=-$\frac{\sqrt{10}}{4}$（x-1）．

點評 本題考查橢圓的標準方程，直線與橢圓的位置關系，考查韋達定理，直線的斜率公式及基本不等式的應用，考查計算能力，屬于中檔題．