Question

4．已知等比數列{a_n}的首項為$\frac{3}{2}$，公比為-$\frac{1}{2}$，前n項和為S_n，則當n∈N^*時，S_n-$\frac{1}{{S}_{n}}$的最大值與最小值之和為$\frac{1}{4}$．

Answer 1

分析 根據等比數列的求和公式求出S_n，分n為奇數或偶數計算出S_n的范圍，從而得出S_n-$\frac{1}{{S}_{n}}$的最大值與最小值．

解答 解：S_n=$\frac{\frac{3}{2}（1-（-\frac{1}{2}）^{n}）}{1+\frac{1}{2}}$=1-（-$\frac{1}{2}$）ⁿ，
（1）當n為奇數時，S_n=1+$\frac{1}{{2}^{n}}$，∴1＜S_n≤$\frac{3}{2}$，
（2）當n為偶數時，S_n=1-$\frac{1}{{2}^{n}}$，∴$\frac{3}{4}$≤S_n＜1．
∴對于任意n∈N^*，$\frac{3}{4}$≤S_n≤$\frac{3}{2}$．
令S_n=t，f（t）=t-$\frac{1}{t}$，則f（t）在[$\frac{3}{4}$，$\frac{3}{2}$]上單調遞增，
∴f（t）的最小值為f（$\frac{3}{4}$）=-$\frac{7}{12}$，f（t）的最大值為f（$\frac{3}{2}$）=$\frac{5}{6}$，
∴S_n-$\frac{1}{{S}_{n}}$的最小值為-$\frac{7}{12}$，最大值為$\frac{5}{6}$，
∴S_n-$\frac{1}{{S}_{n}}$的最大值與最小值之和為-$\frac{7}{12}$+$\frac{5}{6}$=$\frac{1}{4}$．
故答案為：$\frac{1}{4}$．

點評 本題考查了等比數列的求和公式，以及數列的函數的特征，屬于中檔題．