Question

16．如圖，點A與點A′在x軸上，且關于y軸對稱，過點A′垂直于x軸的直線與拋物線y²=2x交于兩點B，C，點D為線段AB 上的動點，點E在線段AC上，滿足$\frac{{|{CE}|}}{{|{CA}|}}=\frac{{|{AD}|}}{{|{AB}|}}$．
（1）求證：直線DE與此拋物線有且只有一個公共點；
（2）設直線DE與此拋物線的公共點F，記△BCF與△ADE的面積分別為S₁、S₂，求$\frac{S_1}{S_2}$的值．

Answer 1

分析 （1）設A及B，C點坐標，根據相似關系，設$\overrightarrow{AD}$=λ$\overrightarrow{AB}$，$\overrightarrow{CE}$=λ$\overrightarrow{CA}$，根據向量的坐標運算，求得D及E點坐標，求得直線DE的方程，將直線方程代入拋物線方程，有且僅有一個解，則直線DE與此拋物線有且只有一個公共點；
（2）根據三角形的面積公式，求得S₁，令y=0，求得G點坐標及丨AG丨，則S₂=S_△ADG+S_△AEG=$\frac{1}{2}$×丨AG丨×丨y_D-y_E丨=2a³（4λ-4λ²），即可求得$\frac{S_1}{S_2}$的值．

解答 解：（1）證明：設A（-2a²，0），A′（2a²，0），則B（2a²，2a），C（2a²，-2a），
設D（x₁，y₁），$\overrightarrow{AD}$=λ$\overrightarrow{AB}$，$\overrightarrow{CE}$=λ$\overrightarrow{CA}$，
∴（x₁+2a²，y₁）=λ（4a²，2a），故D的坐標（（4λ-2）a²，2λa），
設E（x₂，y₂），由$\overrightarrow{CE}$=λ$\overrightarrow{CA}$，則（x₂-2a²，y₂+2a）=λ（-4a²，2a），
∴E（（2-4λ）a²，（2λ-2）a），
∴直線DE的斜率為k_DE=$\frac{2a}{（8λ-4）{a}^{2}}$=$\frac{1}{（4λ-2）a}$，
直線DE的方程：y-2λa=$\frac{1}{（4λ-2）a}$[x-（2-4λ）a²]，
整理得：（4λ-2）ay-2λa（4λ-2）a=x-（2-4λ）a²，即x=2a（2λ-1）y-2a²（2λ-1）²，①
代入拋物線方程，y²=2[2a（2λ-1）y-2a²（2λ-1）²]，
整理得：y²-4a（2λ-1）y+4a²（2λ-1）²=0，②
此時方程②的兩個根相等，y=2a（2λ-1），
代入①，整理得x=2a²（2λ-1）²，
∴直線DE與此拋物線有且僅有一個公共點F（2a²（2λ-1）²，2a（2λ-1））；
（2）由S₁=$\frac{1}{2}$×丨BC丨×h=$\frac{1}{2}$×4a×（2a²-x_F）=4a³（4λ-4λ²），
設直線DE與x軸交于點G，令y=0，代入方程①，x=2a（2λ-1）y-2a²（2λ-1）²，解得：x=2a²（2λ-1）²，
故丨AG丨=2a²-2a²（2λ-1）²=2a²（4λ-4λ²），
S₂=S_△ADG+S_△AEG=$\frac{1}{2}$×丨AG丨×丨y_D-y_E丨=a²（4λ-4λ²）丨2λa-（2λ-2）a丨=2a³（4λ-4λ²），
∴$\frac{S_1}{S_2}$=2，
∴$\frac{S_1}{S_2}$的值2．

點評 本題考查直線與拋物線的位置關系，考查向量的坐標運算，直線的斜率公式及點斜式方程的應用，考查計算能力，屬于中檔題．