Question

6．已知拋物線C：x²=2py（p＞0），過其焦點F作斜率為1的直線交拋物線C于M，N兩點，且|MN|=8，
（1）求拋物線C的方程；
（2）已知動點P的圓心在拋物線C上，且過點D（0，2），若動圓P與x軸交于A，B兩點，且|DA|＜|DB|，求$\frac{{{{|{DA}|}^2}}}{{{{|{DB}|}^2}}}$的最小值．

Answer 1

分析 （1）設拋物線的焦點坐標，設直線l的方程，代入拋物線方程，李媛媛韋達定理及拋物線的焦點弦公式，求出p，即可求出拋物線C的方程；
（2）設P點坐標，求得圓的方程，令y=0，根據對稱性及|DA|＜|DB|，求得A和B點坐標，利用兩點之間的距離公式及基本不等式的性質即可求得$\frac{{|DA{|^2}}}{{|DB{|^2}}}$的最小值．

解答 解：（1）拋物線C：x²=2py的焦點F（0，$\frac{p}{2}$），則直線l的方程：$y=x+\frac{p}{2}$，
聯立$\left\{\begin{array}{l}{x^2}=2py，\;\;\\ y=x+\frac{p}{2}\end{array}\right.⇒{x^2}-2px-{p^2}=0$，
設M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），則x₁+x₂=2p，y₁+y₂=（x₁+x₂）+p=3p，
又因為直線MN過焦點，則|MN|=y₁+y₂+p=4p=8，解得：p=2，
∴該拋物線的方程為：x²=4y．
（2）設$P（{{x_0}，\;\;\frac{x_0^2}{4}}）$，由于圓P過點D（0，2），
則圓P的方程為：${（x-{x_0}）^2}+{（{y-\frac{x_0^2}{4}}）^2}={（0-{x_0}）^2}+{（{2-\frac{x_0^2}{4}}）^2}$，
令y=0，則${x^2}-2{x_0}x+x_0^2-4=0⇒x={x_0}±2$．由對稱性，|DA|＜|DB|，不妨x₀＞0，則A（x₀-2，0），B（x₀+2，0）．
故$\frac{{|DA{|^2}}}{{|DB{|^2}}}=\frac{{{{（{x_0}-2）}^2}+4}}{{{{（{x_0}+2）}^2}+4}}=\frac{{x_0^2-4{x_0}+8}}{{x_0^2+4{x_0}+8}}=1-\frac{{8{x_0}}}{{x_0^2+4{x_0}+8}}=1-\frac{8}{{{x_0}+\frac{8}{x_0}+4}}$，
由于${x_0}+\frac{8}{x_0}≥4\sqrt{2}$，
故$\frac{{|DA{|^2}}}{{|DB{|^2}}}=1-\frac{8}{{{x_0}+\frac{8}{x_0}+4}}≥1-\frac{8}{{4\sqrt{2}+4}}=3-2\sqrt{2}$，（${x_0}=2\sqrt{2}$時取等）
∴$\frac{{|DA{|^2}}}{{|DB{|^2}}}$的最小值為$3-2\sqrt{2}$．

點評 本題考查拋物線的標準方程，直線與拋物線的位置關系，考查韋達定理，拋物線的焦點弦公式，考查基本不等式的應用，考查計算能力，屬于中檔題．