Question

18．函數$f（x）=4{sin^2}\frac{x}{2}sin（{x-\frac{π}{2}}）+2cosx-1-|{lg（{x+1}）}|$的零點個數為（　　）

• A． 5
• B． 6
• C． 7
• D． 9

Answer 1

分析 利用誘導公式以及二倍角公式化簡函數的解析式，考查兩個函數的圖象，頻道零點個數即可．

解答 解：函數$f（x）=4{sin^2}\frac{x}{2}sin（{x-\frac{π}{2}}）+2cosx-1-|{lg（{x+1}）}|$
=2cosx（1-2sin²$\frac{x}{2}$）-1-|lg（x+1）|
=2cos²x-1-|lg（x+1）|
=cos2x-|lg（x+1）|．
函數$f（x）=4{sin^2}\frac{x}{2}sin（{x-\frac{π}{2}}）+2cosx-1-|{lg（{x+1}）}|$的零點，就是cos2x-|lg（x+1）|=0的根．
即：y=cos2x，與y=|lg（x+1）|解得的個數．
如圖：

lg|3π+1|＞lg10=1，
兩個函數的圖象的交點有6個．
故選：B．

點評 本題考查函數的零點個數的判斷，數形結合思想的應用，考查轉化思想以及計算能力．