Question

17．如圖，在棱長為1的正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，點P在截面A₁DB上，則線段AP的最小值等于$\frac{\sqrt{3}}{3}$．

Answer 1

分析 由已知可得AC₁⊥平面A₁DB，可得P為AC₁與截面A₁DB的垂足時線段AP最小，然后利用等積法求解．

解答 解：如圖，連接AC₁交截面A₁DB于P，由CC₁⊥底面，可得CC₁⊥BD，
又AC⊥BD，可得BD⊥平面ACC₁，則AC₁⊥BD．
同理可得AC₁⊥A₁B，得到AC₁⊥平面A₁DB，此時線段AP最小．
由棱長為1，可得等邊三角形A₁DB的邊長為$\sqrt{2}$．
${s}_{△{A}_{1}DB}=\frac{1}{2}×\sqrt{2}×\frac{\sqrt{6}}{2}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，∵${V}_{{A}_{1}ADB}={V}_{A-{A}_{1}DB}$，
∴$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×1×1×1=\frac{1}{3}×\frac{\sqrt{3}}{2}×AP$，解得AP=$\frac{\sqrt{3}}{3}$．
故答案為：$\frac{\sqrt{3}}{3}$

點評 本題考查點、線、面間的距離的求法，利用了等積法求距離，是中檔題．