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14.如圖,三棱柱ABC-A1B1C1中,側(cè)面BB1C1C為菱形,AB⊥B1C.
(Ⅰ)證明:A1C1=AB1
(Ⅱ)若AC⊥AB1,∠BCC1=120°,AB=BC,求二面角A-A1B1-C1的余弦值.

分析 (Ⅰ)連結(jié)BC1,交B1C于點O,連結(jié)AO,可證B1C⊥平面ABO,可得B1C⊥AO,B1O=CO,進而可得A1C1=AB1
(Ⅱ)以O(shè)為坐標(biāo)原點,$\overrightarrow{OB}$的方向為x軸的正方向,|$\overrightarrow{OB}$|為單位長度,$\overrightarrow{O{B}_{1}}$的方向為y軸的正方向,$\overrightarrow{OA}$的方向為z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系,分別可得兩平面的法向量,可得所求余弦值.

解答 (Ⅰ)證明:連接BC1,交B1C于點O,連接AO,
∵側(cè)面BB1C1C為菱形,∴B1C⊥BC1,且O為B1C及BC1的中點.
又AB⊥B1C,∴B1C⊥平面ABO.故B1C⊥AO.又B1O=CO,
故AC=AB1
又AC=A1C1,∴A1C1=AB1
(Ⅱ)解:∵AC⊥AB1,且O為B1C的中點,∴AO=CO.
又∵AB=BC,∴△BOA≌△BOC.故OA⊥OB,從而OA,OB,OB1兩兩垂直.以O(shè)為坐標(biāo)原點,OB的方向為x軸正方向,設(shè)|OB|=1,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系O-xyz.
∵∠BCC1=120°,∴∠CBB1=60°,∴△CBB1為等邊三角形,又AB=BC,
則$A({0,0,\frac{{\sqrt{3}}}{3}})$,B(1,0,0),${B_1}(0,\frac{{\sqrt{3}}}{3},0)$,$C({0,-\frac{{\sqrt{3}}}{3},0})$.
設(shè)$\overrightarrow n=(x,y,z)$是平面AA1B1的法向量,則$\left\{{\begin{array}{l}{\frac{{\sqrt{3}}}{3}y-\frac{{\sqrt{3}}}{3}z=0}\\{x-\frac{{\sqrt{3}}}{3}z=0}\end{array}}\right.$,
∴可取$\overrightarrow n=(1,\sqrt{3},\sqrt{3})$.
設(shè)$\overrightarrow m$是平面A1B1C1的法向量,則同理可取$\overrightarrow m=(1,-\sqrt{3},\sqrt{3})$.
則$cos\left?{\overrightarrow n,\overrightarrow m}\right>=\frac{\overrightarrow n•\overrightarrow m}{{|{\overrightarrow n}||{\overrightarrow m}|}}=\frac{1}{7}$.
∴結(jié)合圖形知二面角A-A1B1-C的余弦值為$\frac{1}{7}$.

點評 本題考查二面角的平面角及求法,考查空間向量法解決立體幾何問題,建立坐標(biāo)系是解決問題的關(guān)鍵,屬中檔題.

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