Question

2．如果函數f（x）=ax²+2x+a²-3在區間[2，4]上具有單調性，則實數a取值范圍是$（{-∞，-\frac{1}{2}}]∪[-\frac{1}{4}，+∞]$．

Answer 1

分析 根據函數f（x）=ax²+2x+a²-3在區間[2，4]上具有單調性，結合二次函數和一次函數的圖象和性質，對a進行分類討論，可得答案．

解答 解：a＜0時，函數f（x）=ax²+2x+a²-3的圖象是開口朝上，且以x=$-\frac{1}{a}$為對稱軸的拋物線，
如果函數f（x）=ax²+2x+a²-3在區間[2，4]上具有單調性，
則$-\frac{1}{a}$≤2，或$-\frac{1}{a}$≥4，
解得：a∈$（-∞，-\frac{1}{2}]∪[-\frac{1}{4}，0）$
a=0時，f（x）=2x-3區間[2，4]上具有單調性，滿足條件，
a＞0時，函數f（x）=ax²+2x+a²-3的圖象是開口朝上，且以x=$-\frac{1}{a}$為對稱軸的拋物線，
此時$-\frac{1}{a}$＜2恒成立，故函數f（x）=ax²+2x+a²-3在區間[2，4]上具有單調性，
綜上所述，a∈$（{-∞，-\frac{1}{2}}]∪[-\frac{1}{4}，+∞]$，
故答案為：$（{-∞，-\frac{1}{2}}]∪[-\frac{1}{4}，+∞]$

點評 本題考查的知識點是二次函數的圖象和性質，熟練掌握二次函數的圖象和性質，是解答的關鍵．