Question

12．已知函數f（x）的值滿足f（x）＜0，對任意實數x，y都有f（xy）=f（x）•f（y），且f（-1）=1，f（27）=9，當0＜x＜1時，f（x）∈（0，1）．
（1）求f（1）的值，判斷f（x）的奇偶性并證明；
（2）判斷f（x）在（0，+∞）上的單調性，并給出證明；
（3）若a≥0且f（a+1）≤$\root{3}{9}$，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）利用賦值法，令y=-1，代入抽象函數表達式即可證明函數的奇偶性；
（2）先證明當x＞0時，f（x）＞0，再利用已知和單調函數的定義，證明函數f（x）在[0，+∞）上的單調性；
（3）先利用賦值法求得f（3）=$\root{3}{9}$再利用函數的單調性解不等式即可

解答 解：（1）令x=y=-1，可得f（1）=1…（2分）令y=-1，則f（-x）=f（x）•f（-1），∵f（-1）=1，∴f（-x）=f（x），f（x）為偶函數．
（2）f（x）在（0，+∞）上是增函數，
證明如下：若x＞0，則f（x）=f（$\sqrt{x}•\sqrt{x}$）≥0．
若存在x₀＞0，使得f（x₀）=0，則f（27）=f（$\frac{27}{{x}_{0}}•{x}_{0}$）=f（$\frac{27}{{x}_{0}}$）×f（x₀）=0與已知矛盾，
∴當x＞0時，f（x）＞0
設：0＜x₁＜x₂，∴$0＜\frac{x_1}{x_2}＜1$，由題設知$0＜f（{\frac{x_1}{x_2}}）＜1$
且$f（{x_1}）=f（\frac{x_1}{x_2}•{x_2}）=f（\frac{x_1}{x_2}）f（{x_2}）$，∴$f（{x_1}）-f（{x_2}）=f（{x_2}）（1-f（{\frac{x_1}{x_2}}））$…（8分）
$又∵0＜f（\frac{x_1}{x_2}）＜1，f（{x_2}）＞0$∴f（x₁）＜f（x₂），
故f（x）在（0，+∞）上是增函數；
（3）∵f（27）=9，而f（27）=f（3×9）=f（3）×f（9）=[f（3）]³∴${[f（3）]^3}=9，則f（3）=\root{3}{9}$∵$f（a+1）≤\root{3}{9}$
∴f（a+1）≤f（3），∴a+1≤3，a≥0⇒0≤a≤2．
∴a的取值范圍：[0，2]．

點評 本題考查了抽象函數表達式的意義和運用，函數奇偶性的定義和判斷方法，函數單調性定義及其證明，利用函數的單調性解不等式的方法