Question

17．已知雙曲線C₁：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1，（a＞0，b＞0）的焦距是實軸長的2倍，若拋物線C₂：x²=2py，（p＞0）的焦點到雙曲線C₁的漸近線的距離為2，求拋物線C₂的標準方程．

Answer 1

分析 利用雙曲線C₁：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1，（a＞0，b＞0）的焦距是實軸長的2倍，推出a，b的關系，求出拋物線的焦點坐標，通過點到直線的距離求出p，即可得到拋物線的方程．

解答 解：∵雙曲線C₁：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1，（a＞0，b＞0）的焦距是實軸長的2倍，
∴c=2a，即$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}}{{a}^{2}}$=4，
∴$\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}$=3，
雙曲線的一條漸近線方程為：bx-ay=0．
拋物線C₂：x²=2py（p＞0）的焦點（0，$\frac{p}{2}$）到雙曲線C₁的漸近線的距離為2，
∴2=$\frac{|\frac{ap}{2}|}{\sqrt{{b}^{2}+{a}^{2}}}$，
∵$\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}$=3，∴p=8．
∴拋物線C₂的方程為x²=16y．

點評 本題考查拋物線的簡單性質，點到直線的距離公式，雙曲線的簡單性質，考查計算能力．