Question

19．已知函數f（x）=x|x-2|．
（1）作出函數f（x）=x|x-2|的大致圖象；
（2）若方程f（x）-k=0有三個解，求實數k的取值范圍．
（3）若x∈（0，m]（m＞0），求函數y=f（x）的最大值．

Answer 1

分析 （1）寫出f（x）的分段形式，畫出圖象；
（2）由題意可得，函數f（x）圖象與直線y=k有三個交點，通過平移直線y=k，即可得到k 范圍；
（3）對m討論，分當0＜m≤1時，當1＜m≤1+$\sqrt{2}$時，當m＞1+$\sqrt{2}$時，三種情況，通過圖象和單調性，即可得到最大值．

解答 解：（1）函數f（x）=x|x-2|=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}-2x，x≥2}\\{2x-{x}^{2}，x＜2}\end{array}\right.$，
由分段函數的畫法，可得如圖：
（2）若方程f（x）-k=0有三個解，即函數f（x）圖象與直線y=k有三個交點，
由圖可得，當0＜k＜1時，有三個交點，即方程f（x）-k=0有三個解；
（3）當0＜m≤1時，f（x）在（0，m]遞增，f（m）取得最大值，且為2m-m²；
由x²-2x=1，解得x=1+$\sqrt{2}$（1-$\sqrt{2}$舍去），
當1＜m≤1+$\sqrt{2}$時，由f（x）的圖象可得f（1）取得最大值1；
當m＞1+$\sqrt{2}$時，由f（x）的圖象可得f（m）取得最大值m²-2m．
綜上可得，當0＜m≤1時，f（x）的最大值為2m-m²；
當1＜m≤1+$\sqrt{2}$時，f（x）的最大值為1；
當m＞1+$\sqrt{2}$時，f（x）的最大值為m²-2m．

點評 本題考查分段函數的應用：求范圍和最值，注意運用數形結合和分類討論的思想方法，同時考查函數的單調性的運用，屬于中檔題．