Question

6．雙曲線與橢圓4x²+y²=64有公共的焦點，它們的離心率互為倒數，求雙曲線方程．

Answer 1

分析 求出橢圓焦點為（0，±4$\sqrt{3}$），離心率為$\frac{\sqrt{3}}{2}$，利用雙曲線與橢圓4x²+y²=64有公共的焦點，它們的離心率互為倒數，即可求雙曲線方程．

解答 解：橢圓4x²+y²=64，即$\frac{{x}^{2}}{16}+\frac{{y}^{2}}{64}$=1，
焦點為（0，±4$\sqrt{3}$），離心率為$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
所以雙曲線的焦點在y軸上，c=4$\sqrt{3}$，e=$\frac{2}{\sqrt{3}}$，
所以a=6，b=2$\sqrt{3}$，
所以雙曲線方程為$\frac{{y}^{2}}{36}-\frac{{x}^{2}}{12}$=1．

點評 本題考查橢圓、雙曲線方程與性質，考查學生的計算能力，屬于中檔題．