Question

15．求符合下列條件的雙曲線的標準方程
（1）焦點在x軸上，頂點間的距離為6，漸近線方程為y=±$\frac{1}{3}x$
（2）與橢圓$\frac{{x}^{2}}{9}$+$\frac{{y}^{2}}{25}$=1共焦點，它們的離心率之和為$\frac{14}{5}$．

Answer 1

分析 （1）由題意，2a=6，$\frac{b}{a}$=$\frac{1}{3}$，求出a，b，即可求出雙曲線的標準方程；
（2）橢圓$\frac{{x}^{2}}{9}$+$\frac{{y}^{2}}{25}$=1的焦點坐標為（0，±4），離心率為$\frac{4}{5}$，可得雙曲線的焦點坐標為（0，±4），離心率為2，求出a，b，即可求出雙曲線的標準方程．

解答 解：（1）由題意，2a=6，$\frac{b}{a}$=$\frac{1}{3}$，
∴a=3，b=1，
∴雙曲線的標準方程為$\frac{{x}^{2}}{9}-{y}^{2}$=1；  
（2）橢圓$\frac{{x}^{2}}{9}$+$\frac{{y}^{2}}{25}$=1的焦點坐標為（0，±4），離心率為$\frac{4}{5}$，
∴雙曲線的焦點坐標為（0，±4），離心率為2，
∴$a=2，b=2\sqrt{3}$，
∴雙曲線的標準方程為$\frac{{y}^{2}}{4}-\frac{{x}^{2}}{12}$=1．

點評 本題考查雙曲線的標準方程與性質，考查學生的計算能力，確定幾何量是關鍵．