Question

3．若向量$\overrightarrow{a}$=$（{\sqrt{3}cosωx，sinωx}）$，$\overrightarrow{b}$=（sinωx，0），其中ω＞0，記函數f（x）=（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$）•$\overline{b}$-$\frac{1}{2}$．若函數f（x）的圖象與直線y=m（m為常數）相切，并且切點的橫坐標依次成公差是π的等差數列．
（Ⅰ）求f（x）的表達式及m的值；
（Ⅱ）將f（x）的圖象向左平移$\frac{π}{6}$個單位，再將得到的圖象上各點的縱坐標變為原來的2倍（橫坐標不變）后得到y=g（x）的圖象，求y=g（x）在$[0，\frac{π}{2}]$上的值域．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由已知結合向量的數量積運算，倍角公式，和差角公式，可得f（x）的表達式及m的值；
（Ⅱ）求出y=g（x）解析式，結合正弦函數的圖象和性質，可得y=g（x）在$[0，\frac{π}{2}]$上的值域．

解答 解：（Ⅰ）∵向量$\overrightarrow{a}$=$（{\sqrt{3}cosωx，sinωx}）$，$\overrightarrow{b}$=（sinωx，0），
∴函數f（x）=（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$）•$\overline{b}$-$\frac{1}{2}$=$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$+${\overrightarrow{b}}^{2}$-$\frac{1}{2}$=$\sqrt{3}cosωx•sinωx$+sin²ωx-$\frac{1}{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2ωx-$\frac{1}{2}$cos2ωx=sin（2ωx$-\frac{π}{6}$），
∵函數f（x）的圖象與直線y=m（m為常數）相切時，
切點的橫坐標依次成公差是π的等差數列．
故T=π，m=±1，
即2ω=2，ω=1，
∴$f（x）=sin（2x-\frac{π}{6}）$，m=±1
（Ⅱ）將f（x）的圖象向左平移$\frac{π}{6}$個單位，
可得$y=sin（2x+\frac{π}{6}）$的圖象，
再將得到的圖象上各點的縱坐標變為原來的2倍（橫坐標不變）后得到y=g（x）=$2sin（2x+\frac{π}{6}）$的圖象，
當x∈$[0，\frac{π}{2}]$時，$2x+\frac{π}{6}$∈$[\frac{π}{6}，\frac{7π}{6}]$，
故當$2x+\frac{π}{6}$=$\frac{π}{2}$即x=$\frac{π}{6}$時，函數最最大值2，
當$2x+\frac{π}{6}$=$\frac{7π}{6}$即x=$\frac{π}{2}$時，函數最最小值-1，
故y=g（x）在$[0，\frac{π}{2}]$上的值域為：[-1，2]

點評 本題考查的知識點是平面向量的數量積運算，三角函數的圖象和性質，是向量與三角函數的綜合應用，難度中檔．