Question

12．設各項均為正數的數列{a_n}的前n項和為S_n，且滿足a₁=1，4S_n=a_na_n+1+1（n∈N*）．
（1）求a₁₅的值；
（2）求證：數列{a_n}是等差數列；
（3）若a_m-12，a_m，a_m+k+18成等差數列，其中m∈N*，k∈N*，求m的值．

Answer 1

分析 （1）當n≥2時，4S_n-1=a_n-1a_n+1，兩式相減可得a_na_n+1-a_n-1a_n=4a_n，又a_n＞0，a_n+1-a_n-1=4，即可求a₁₅的值；
（2）：由（1）可得a₃-a₁=a₄-a₂=4，a₂=3，a₄=5，即可證明數列{a_n}是等差數列；
（3）若a_m-12，a_m，a_m+k+18成等差數列，（2m-1）²=（2m-13）（2m+2k+17），2k+17=11+$\frac{144}{2m-13}$≥19，即可求m的值．

解答 （1）解：∵4S_n=a_na_n+1+1，
∴當n≥2時，4S_n-1=a_n-1a_n+1，兩式相減可得a_na_n+1-a_n-1a_n=4a_n，又a_n＞0，
∴a_n+1-a_n-1=4，
∴數列{a_2k-1}（k∈N^*）為等差數列，公差為4，
∴a₁₅=1+4×（8-1）=29；
（2）證明：由（1）可得a₃-a₁=a₄-a₂=4，a₂=3，a₄=5
∴a₂-a₁=2，
∴數列{a_n}是首項為1，公差為2的等差數列；
（3）解：a_m=2m-1，a_m+k=2（m+k）-1，
由題意，（2m-1）²=（2m-13）（2m+2k+17），
∴2k+17=11+$\frac{144}{2m-13}$≥19，
∴2m-13＞0，2m-13能被13整除，
∴2m-13為奇數1，3，9，
∴m=7，8，11．

點評 本題考查數列遞推式，考查數列的通項，考查等差數列的證明，屬于中檔題．