Question

17．P為雙曲線$C：\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{{{a^2}-4}}=1（a＞2）$上位于第一象限內一點，且$OP=2\sqrt{2}$，令∠POx=θ，則θ的取值范圍是（0，$\frac{π}{12}$]．

Answer 1

分析 利用參數法求出點P的坐標，結合基本不等式進行求解即可．

解答 解：設∠POx=θ，則θ為銳角且P（2$\sqrt{2}$cosθ，2$\sqrt{2}$sinθ），
所以$\frac{8co{s}^{2}θ}{{a}^{2}}$-$\frac{8si{n}^{2}θ}{{a}^{2}-4}$=1，
即有$\frac{4（1+cos2θ）}{{a}^{2}}$-$\frac{4（1-cos2θ）}{{a}^{2}-4}$=1，
化簡得，cos2θ=$\frac{1}{8}$[（a²-2）+$\frac{12}{{a}^{2}-2}$]≥$\frac{1}{8}$•2$\sqrt{（{a}^{2}-2）•\frac{12}{{a}^{2}-2}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
當且僅當a²-2=$\frac{12}{{a}^{2}-2}$，
即a²=2（$\sqrt{3}$+1）時取等號，
所以2θ≤$\frac{π}{6}$，
即有0＜θ≤$\frac{π}{12}$．
故答案為：（0，$\frac{π}{12}$]．

點評 本題主要考查雙曲線性質的應用，利用參數法結合基本不等式求最值是解決本題的關鍵．綜合性較強，有一定的難度．