Question

2．定義在R上的偶函數f（x）的圖象關于點（1，0）對稱，且當x∈[1，2]時，f（x）=-2^x+2，若函數y=f（x）-log_a（|x|+1）恰好有8個零點，則實數a的取值范圍是$（\frac{{\sqrt{11}}}{11}，\frac{{\sqrt{7}}}{7}）∪\left\{3\right\}$．

Answer 1

分析 ①畫出：x∈[1，2]時，f（x）=-2^x+2，f（x）的圖象，由于函數f（x）的圖象關于點（1，0）對稱，可得其在區間[0，1]上的圖象．由于函數f（x）是偶函數，且關于點（1，0）對稱，則f（-x）=f（x），f（x）+f（2-x）=0，
可得f（x+4）=f（x），因此其周期T=4．當a＞1時，畫出函數y=log_a（|x|+1），由于此函數是偶函數，因此只要畫出右邊的圖象即可得出．由于右邊的圖象與函數f（x）的圖象只有4個交點，因此log_a（|8|+1）=2，解得a．
②當1＞a＞0時，畫出函數y=log_a（|x|+1），同理滿足：log_a（6+1）＞-2，log_a（10+1）＜-2，解出即可得出．

解答 解：①畫出：x∈[1，2]時，f（x）=-2^x+2，f（x）的圖象，
由于函數f（x）的圖象關于點（1，0）對稱，可得其在區間[0，1]上的圖象．
由于函數f（x）是偶函數，且關于點（1，0）對稱，則f（-x）=f（x），f（x）+f（2-x）=0，
可得f（x+4）=f（x），因此其周期T=4．
當a＞1時，畫出函數y=log_a（|x|+1），由于此函數是偶函數，因此只要畫出右邊的圖象即可得出．
由于右邊的圖象與函數f（x）的圖象只有4個交點，因此log_a（|8|+1）=2，解得a=3．
②當1＞a＞0時，畫出函數y=log_a（|x|+1），由于此函數是偶函數，因此只要畫出右邊的圖象即可得出．
由于右邊的圖象與函數f（x）的圖象只有4個交點，因此滿足：log_a（6+1）＞-2，log_a（10+1）＜-2，
解得：$\frac{\sqrt{11}}{11}$＜a＜$\frac{\sqrt{7}}{7}$．
故所求的實數a的取值范圍是$（\frac{{\sqrt{11}}}{11}，\frac{{\sqrt{7}}}{7}）∪\left\{3\right\}$．
故答案為：$（\frac{{\sqrt{11}}}{11}，\frac{{\sqrt{7}}}{7}）∪\left\{3\right\}$．

點評 本題考查了函數的圖象與性質、數形結合思想方法，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．