Question

20．若圓C：x²+y²+Dx+Ey+F=0的半徑為r，圓心C到直線l的距離為d，其中D²+E²=F²，且F＞0．
（1）求F的取值范圍；
（2）求d²-r²的值；
（3）是否存在定圓M既與直線l相切又與圓C相離？若存在，請寫出定圓M的方程，并給出證明；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）根據方程x²+y²+Dx+Ey+F=0表示圓的條件，結合題意求出F的取值范圍；
（2）根據題意求出r和d，計算d²-r²的值即可；
（3）存在定圓M：x²+y²=1滿足題意，證明圓M與直線l相切，并且圓M與圓C相離即可．

解答 解：（1）方程x²+y²+Dx+Ey+F=0表示圓，
則D²+E²＞4F，
又D²+E²=F²，且F＞0，
所以中F²＞4F，且F＞0，
解得F＞4； …（3分）
（2）圓C：x²+y²+Dx+Ey+F=0的圓心為C（-$\frac{D}{2}$，-$\frac{E}{2}$），
半徑r=$\frac{\sqrt{{D}^{2}{+E}^{2}-4F}}{2}$=$\frac{\sqrt{{F}^{2}-4F}}{2}$，
圓心C到直線l的距離為
d=$\frac{|D×（-\frac{D}{2}）+E×（-\frac{E}{2}）+F|}{\sqrt{{D}^{2}{+E}^{2}}}$=|$\frac{F-2}{2}$|，
所以d²-r²=${|\frac{F-2}{2}|}^{2}$-${（\frac{\sqrt{{F}^{2}-4F}}{2}）}^{2}$=1；  …（8分）
（3）存在定圓M：x²+y²=1滿足題意，下證之：…（10分）
1°因為M（0，0）到直線l的距離為$\frac{|F|}{\sqrt{{D}^{2}{+E}^{2}}}$=1=R，
所以圓M與直線l相切；
2°因為CM=$\sqrt{{（0+\frac{D}{2}）}^{2}{+（0+\frac{E}{2}）}^{2}}$=$\frac{F}{2}$，且R+1=$\frac{\sqrt{{F}^{2}-4F}}{2}$+1，
而$\frac{F}{2}$＞$\frac{\sqrt{{F}^{2}-4F}}{2}$+1，
即${（\frac{F}{2}-1）}^{2}$＞$\frac{{F}^{2}-4F}{4}$，
即4＞0，
故CM＞R+1，
所以圓M與圓C相離；
由1°、2°得，存在定圓M：x²+y²=1滿足題意． …（16分）

點評 本題考查了直線與圓的方程與應用問題，也考查了點到直線的距離問題的應用，是綜合性問題．