Question

3．已知函數f（x）滿足：2f（x）•f（y）=f（x+y）+f（x-y），f（1）=$\frac{1}{2}$，且f（x）在[0，3]上單調遞減，則方程f（x）=$\frac{1}{2}$在區間[-2014，2014]內根的個數為1343．

Answer 1

分析 可令y=1，f（x）=f（x+1）+f（x-1），兩次將x換為x+1，可得f（x）的周期為3，由題意可得方程的根的個數．

解答 解：2f（x）•f（y）=f（x+y）+f（x-y），f（1）=$\frac{1}{2}$，
令y=1，可得2f（x）f（1）=f（x+1）+f（x-1），
即為f（x）=f（x+1）+f（x-1），
將x換為x+1，可得f（x+1）=f（x+2）+f（x），
即有f（x+2）=f（x-1），
將x換為x+1，可得f（x+3）=f（x），
則函數f（x）以3為最小正周期的函數，
由f（1）=$\frac{1}{2}$，且f（x）在[0，3]上單調遞減，
可得方程f（x）=$\frac{1}{2}$在[0，2014]之間有672個根，
在[-2014，0]之間有671個根，
則方程f（x）=$\frac{1}{2}$在區間[-2014，2014]內根的個數為672+671=1343個根．
故答案為：1343．

點評 本題考查抽象函數的性質和運用，主要是周期性的應用，考查運算能力，屬于中檔題．