Question

15．已知△ABC的外接圓的圓心為O，AB=2，AC=3，BC=4，則$\overrightarrow{AO}$•$\overrightarrow{BC}$=（　　）

• A． $\frac{3}{2}$
• B． $\frac{5}{2}$
• C． 2
• D． 7

Answer 1

分析 作OD⊥AB于D，OE⊥AC于E，利用圓的弦的性質可得AD=$\frac{1}{2}•AB$，求得$\overrightarrow{AO}•\overrightarrow{AB}$=$\frac{{AB}^{2}}{2}$，同理可得$\overrightarrow{AO}•\overrightarrow{AC}$=$\frac{{AC}^{2}}{2}$，從而求得$\overrightarrow{AO}$•$\overrightarrow{BC}$=$\overrightarrow{AO}$•（$\overrightarrow{AC}$-$\overrightarrow{AB}$）的值．

解答 解：作OD⊥AB于D，OE⊥AC于E，
∵⊙O中，OD⊥AB，∴AD=$\frac{1}{2}•AB$，cos∠OAD=$\frac{AD}{AO}$，
∴$\overrightarrow{AO}•\overrightarrow{AB}$=AO•AB•cos∠OAD=$\frac{{AB}^{2}}{2}$=2，
同理可得$\overrightarrow{AO}•\overrightarrow{AC}$=$\frac{{AC}^{2}}{2}$=$\frac{9}{2}$，
∴$\overrightarrow{AO}$•$\overrightarrow{BC}$=$\overrightarrow{AO}$•（$\overrightarrow{AC}$-$\overrightarrow{AB}$）=$\overrightarrow{AO}•\overrightarrow{AC}$-$\overrightarrow{AO}•\overrightarrow{AB}$=$\frac{9}{2}$-2=$\frac{5}{2}$，
故選：B．

點評 本題給出三角形的外接圓的圓心為0，在已知三邊長的情況下求$\overrightarrow{AO}•\overrightarrow{BC}$的值，著重考查了圓中垂直于弦的直徑性質、三角函數在直角三角形中的定義和向量數量積公式及其性質等知識，屬于中檔題．