Question

10．若存在x₀＞1，使不等式（x₀+1）ln  x₀＜a（x₀-1）成立，則實數a的取值范圍是 （　�。�

• A． （-∞，2）
• B． （2，+∞）
• C． （1，+∞）
• D． （4，+∞）

Answer 1

分析 若存在x₀＞1，使不等式（x₀+1）ln x₀＜a（x₀-1）成立，則存在x₀＞1，使不等式a＞$\frac{（{x}_{0}+1{）lnx}_{0}}{{x}_{0}-1}$成立，令f（x）=$\frac{{（{x}_{\;}+1）lnx}_{\;}}{{x}_{\;}-1}$=（1+$\frac{2}{x-1}$）lnx，x＞1，求出函數的極限，可得數a的取值范圍．

解答 解：若存在x₀＞1，使不等式（x₀+1）ln x₀＜a（x₀-1）成立，
則存在x₀＞1，使不等式a＞$\frac{（{x}_{0}+1{）lnx}_{0}}{{x}_{0}-1}$成立，
令f（x）=$\frac{{（{x}_{\;}+1）lnx}_{\;}}{{x}_{\;}-1}$=（1+$\frac{2}{x-1}$）lnx，x＞1，
此時f（x）為增函數，
由$\lim_{x→1}f（x）$=$\lim_{x→1}lnx$+$\lim_{x→1}\frac{2lnx}{x-1}$=$\lim_{x→1}\frac{2lnx}{x-1}$→2
故a＞2，
即實數a的取值范圍是（2，+∞），

點評 本題考查的知識點是函數存在性問題，函數的單調性，極限運算，難度中檔．