Question

19．已知函數(shù)f（x）=x³+ax²+bx+c，g（x）=3x²+2ax+b（a，b，c是常數(shù)），若f（x）在（0，1）上單調遞減，則下列結論中：①f（0）•f（1）≤0；②g（0）•g（1）≥0；③a²-3b有最小值．
正確結論的個數(shù)為（　　）

• A． 0
• B． 1
• C． 2
• D． 3

Answer 1

分析 由f（x）在（0，1）上單調遞減，可得g（x）=3x²+2ax+b≤0在（0，1）上恒成立，則3x²+2ax+b=0有兩個不等的實根根，進而判斷三個命題的真假，可得答案．

解答 解：函數(shù)f（x）=x³+ax²+bx+c在（0，1）上單調遞減，
但f（0），f（1）的符號不能確定，
故①f（0）•f（1）≤0不一定正確；
由f′（x）=3x²+2ax+b≤0在（0，1）上恒成立，
即g（x）=3x²+2ax+b≤0在（0，1）上恒成立，
故g（0）≤0，且g（1）≤0，
故②g（0）•g（1）≥0一定正確；
由g（0）≤0，且g（1）≤0得b≤0，3+2a+b≤0，
令Z=a²-3b，則b=$\frac{1}{3}$（a²-Z），
當b=$\frac{1}{3}$（a²-Z）過（-$\frac{3}{2}$，0）點時，Z取最小值$\frac{9}{4}$
故③正確；
故選：C

點評 本題以命題的真假判斷與應用為載體，考查了利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性，二次函數(shù)的圖象和性質，難度中檔．