Question

20．已知f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{2}^{x-1}（x≥1）}\\{3x-2（x＜1）}\end{array}\right.$，若對任意θ∈[0，$\frac{π}{2}$]，不等式f（cos²θ+λsinθ-$\frac{1}{3}$）+$\frac{1}{2}$＞0恒成立，整數λ的最小值為1．

Answer 1

分析 令f（x）$＞-\frac{1}{2}$，解得：x$＞\frac{1}{2}$，若對任意θ∈[0，$\frac{π}{2}$]，不等式f（cos²θ+λsinθ-$\frac{1}{3}$）+$\frac{1}{2}$＞0恒成立，則對任意θ∈[0，$\frac{π}{2}$]，cos²θ+λsinθ-$\frac{1}{3}$$＞\frac{1}{2}$恒成立，進而得到答案．

解答 解：∵f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{2}^{x-1}（x≥1）}\\{3x-2（x＜1）}\end{array}\right.$，
令f（x）$＞-\frac{1}{2}$，
解得：x$＞\frac{1}{2}$，
若對任意θ∈[0，$\frac{π}{2}$]，不等式f（cos²θ+λsinθ-$\frac{1}{3}$）+$\frac{1}{2}$＞0恒成立，
則對任意θ∈[0，$\frac{π}{2}$]，cos²θ+λsinθ-$\frac{1}{3}$$＞\frac{1}{2}$恒成立，
即1-sin²θ+λsinθ-$\frac{1}{3}$$＞\frac{1}{2}$恒成立，
當θ=0時，不等式恒成立，
當θ≠0時，1-sin²θ+λsinθ-$\frac{1}{3}$$＞\frac{1}{2}$可化為：λ＞$\frac{-\frac{1}{6}+{sin}^{2}θ}{sinθ}$=sinθ-$\frac{1}{6sinθ}$，
當θ=$\frac{π}{2}$時，sinθ-$\frac{1}{6sinθ}$取最大值$\frac{5}{6}$，
故λ＞$\frac{5}{6}$，
故整數λ的最小值為1，
故答案為：1．

點評 本題考查的知識點是分段函數的應用，函數恒成立問題，函數的最值，難度中檔．