Question

15．已知函數$f（x）=1+x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-…+\frac{{{x^{2017}}}}{2017}$，設F（x）=f（x+4），且F（x）的零點均在區間（a，b）內，其中a，b∈Z，a＜b，則F（x）＞0的最小整數解為（　　）

• A． -1
• B． 0
• C． -5
• D． -4

Answer 1

分析 求出f（x）的導數，討論x的范圍，結合等比數列求和公式，判斷導數符號，可得函數f（x）是（-∞，+∞）上的增函數．計算f（-1）＜0，f（0）＞0，可得f（x）的零點范圍，進而得到F（x）的零點范圍，即可得到所求最小值．

解答 解：∵函數$f（x）=1+x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-…+\frac{{{x^{2017}}}}{2017}$，
∴當x＜-1或x＞-1時，f′（x）=1-x+x²-x³+…+x²⁰¹⁶=$\frac{1+{x}^{2017}}{1+x}$＞0．
而當x=-1時，f′（x）=2017＞0，
∴f′（x）＞0對任意x∈R恒成立，得函數f（x）是（-∞，+∞）上的增函數．
∵f（-1）=（1-1）+（-$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$）+…+（-$\frac{1}{2016}$-$\frac{1}{2017}$）＜0，f（0）=1＞0，
∴函數f（x）在R上有唯一零點x₀∈（-1，0），
∵F（x）=f（x+4），得函數F（x）的零點是x₀-4∈（-5，-4），
則F（x）＞0的最小整數解為-4．
故選：D．

點評 本題考查函數零點問題的解法，注意運用函數零點存在定理，結合函數的導數和單調性，考查運算能力，屬于中檔題．