Question

3．已知集合A={x|（m-1）x²+3x-2=0}．
（1）若集合A為兩個元素的集合，試求實數m的范圍；
（2）是否存在這樣的實數m，使得集合A有僅有兩個子集？若存在，求出所有的m的值組成的集合M；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）若集合A為兩個元素的集合，則關于x的方程有實數解，則m-1≠0，由此根據判別式能求出實數m的取值范圍；
（2）若A恰有兩個子集，則A為單元素集，即關于x的方程（m-1）x²+3x-2=0恰有一個實數解，求出實數m的取值范圍即可得答案．

解答 解：（1）若集合A為兩個元素的集合，則關于x的方程（m-1）x²+3x-2=0有實數解，則m-1≠0，
且△=9+8（m-1）＞0，∴$m＞-\frac{1}{8}$；
（2）集合A且僅有兩個子集，
∴關于x的方程恰有一個實數解，
討論：①當m=1時，x=$\frac{2}{3}$，滿足題意；
②當m≠1時，△=8m+1=0，∴m=-$\frac{1}{8}$．
綜上所述，m=1或m=-$\frac{1}{8}$．
∴M的集合為{-$\frac{1}{8}$，1}．

點評 本題考查實數m的取值范圍的求法，解題時要認真審題，注意分析法、討論法的合理運用，是中檔題．