Question

14．已知數列{a_n}的前n項和為S_n，且n，a_n，S_n成等差數列．
（1）求數列{a_n}的通項公式a_n；
（2）記b_n=a_n•log₂（a_n+1），求數列{b_n}的前n項和T_n．

Answer 1

分析 （1）由n，a_n，S_n成等差數列，可得n+S_n=2a_n，n=1時，1+a₁=2a₁，解得a₁．n≥2時可得：n-1+S_n-1=2a_n-1，相減可得：a_n+1=2（a_n-1+1），利用等比數列通項公式即可得出．
（2）b_n=a_n•log₂（a_n+1）=n（2ⁿ-1）=n•2ⁿ-n，令數列{n•2ⁿ}的前n項和為A_n=2+2×2²+3×2³+…+n•2ⁿ，利用“錯位相減法”、等比數列的求和公式即可得出．

解答 解：（1）∵n，a_n，S_n成等差數列，∴n+S_n=2a_n，n=1時，1+a₁=2a₁，解得a₁=1．
n≥2時可得：n-1+S_n-1=2a_n-1，相減可得：a_n+1=2a_n-2a_n-1，可得：a_n+1=2（a_n-1+1），
∴數列{a_n+1}成等比數列，公比為2，首項為2．
∴a_n+1=2ⁿ，解得a_n=2ⁿ-1．
（2）b_n=a_n•log₂（a_n+1）=n（2ⁿ-1）=n•2ⁿ-n，
令數列{n•2ⁿ}的前n項和為A_n=2+2×2²+3×2³+…+n•2ⁿ，
2A_n=2²+2×2³+…+（n-1）•2ⁿ+n•2ⁿ⁺¹，
∴-A_n=2+2²+…+2ⁿ-n•2ⁿ⁺¹=2×$\frac{{2}^{n}-1}{2-1}$-n•2ⁿ⁺¹=（1-n）•2ⁿ⁺¹-2，
∴A_n=（n-1）•2ⁿ⁺¹+2．
∴數列{b_n}的前n項和T_n=（n-1）•2ⁿ⁺¹+2-$\frac{n（n+1）}{2}$．

點評 本題考查了等差數列與等比數列的通項公式與求和公式、“錯位相減法”、數列遞推關系，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．