Question

4．函數f（x）=k•a^x-a^-x（a＞0且a≠1）是定義域為R的奇函數．
（Ⅰ）求k的值；
（Ⅱ）討論不等式f（x²+x）+f（2x-4）＜0的解集；
（Ⅲ）若$f（1）=\frac{8}{3}$，且g（x）=a^2x+a^-2x-2m•f（x）+2在[1，+∞）恒為正，求實數m的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據奇函數的定義求解即可；
（ II）根據奇函數的性質，不等式可轉化為f（x²+x）＜f（4-2x），對a進行分類討論，由函數的單調性分別求解即可；
（III）由f（1）=$\frac{8}{3}$，求出a=3，不等式可轉化為3^2x+3^-2x-2m•（3^x-3^-x）+2＞0恒成立，構造函數令t=3^x-3^-x，t＞$\frac{8}{3}$，得出2m＜t+$\frac{4}{t}$，只需求出右式的最小值即可．

解答 解：（Ⅰ）由函數f（x）為R上的奇函數，
則f（0）=0，得k-1=0，解得k=1；
（ II）由（Ⅰ）得：f（x）=a^x-a^-x，
不等式f（x²+x）+f（2x-4）＜0，
即f（x²+x）＜f（4-2x）
當a＞1時，f（x）遞增，故x²+x＜4-2x，
解得：-4＜x＜1，
故不等式的解集是（-4，1）；
當1＞a＞0時，f（x）遞減，故x²+x＞4-2x，
解得：x＞1或x＜-4，
故不等式的解集是：（-∞，-4）∪（1，+∞）；
（III）又∵f（1）=$\frac{8}{3}$，即a-a^-1=$\frac{8}{3}$，解得a=-$\frac{1}{3}$（舍去）或a=3，
∴f（x）=3^x-3^-x，
g（x）=a^2x+a^-2x-2m•f（x）+2在[1，+∞）恒為正，
∴3^2x+3^-2x-2m•（3^x-3^-x）+2＞0恒成立，
令t=3^x-3^-x，則t≥$\frac{8}{3}$，
∴2m＜t+$\frac{4}{t}$，
顯然可知t+$\frac{4}{t}$的最小值為$\frac{25}{6}$，
∴$m∈（-∞，\frac{25}{12}）$．

點評 本題考查了奇函數的概念和應用，利用構造函數的方法把恒成立問題轉化為求函數最值問題．