Question

6．已知函數 f （x）=x²ln x，若關于x的不等式 f （x）-kx+1≥0恒成立，則實數k 的取值范圍是（-∞，1]．

Answer 1

分析 把恒成立問題轉化為求函數最值問題，根據導函數求出函數g（x）=xlnx+$\frac{1}{x}$的最小值，得出答案．

解答 解：∵x²ln x-kx+1≥0恒成立，
∴k≤xlnx+$\frac{1}{x}$恒成立，
令g（x）=xlnx+$\frac{1}{x}$，
g'（x）=lnx+1-$\frac{1}{{x}^{2}}$，
當x在（1，+∞）時，g'（x）＞0，g（x）遞增；
當x在（0，1）時，g'（x）＜0，g（x）遞減；
故g（x）的最小值為g（1）=1，
∴k≤1，
故答案為：（-∞，1]．

點評 本題考查了恒成立問題的轉化和利用導函數判斷函數的最值．屬于常規題型，應熟練掌握．