Question

18．雙曲線$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（a＞0，b＞0）$的兩條漸近線將平面劃分為“上、下、左、右”四個區域（不含邊界），若點（2，1）在“右”區域內，則雙曲線離心率e的取值范圍是（　　）

• A． $（{1，\frac{{\sqrt{5}}}{2}}）$
• B． $（{\frac{{\sqrt{5}}}{2}，+∞}）$
• C． $（{1，\frac{5}{4}}）$
• D． $（{\frac{5}{4}，+∞}）$

Answer 1

分析 由于雙曲線的一條漸近線方程為：y=$\frac{b}{a}$x，及點（2，1）在“右”區域內，得出 $\frac{b}{a}$＞$\frac{1}{2}$，從而得出雙曲線離心率e的取值范圍．

解答 解：雙曲線$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（a＞0，b＞0）$的一條漸近線方程為：y=$\frac{b}{a}$x，
∵點（2，1）在“右”區域內，
∴$\frac{b}{a}$×2＞1，即$\frac{b}{a}$$＞\frac{1}{2}$，
∴e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{1+（\frac{b}{a}）^{2}}$＞$\frac{\sqrt{5}}{2}$，
又e＞1，
則雙曲線離心率e的取值范圍是（$\frac{\sqrt{5}}{2}$，+∞）．
故選：B．

點評 本小題主要考查雙曲線的簡單性質、不等式（組）與平面區域、不等式的性質等基礎知識，考查運算求解能力與轉化思想．屬于基礎題．